דף נוסחאות חוזק חומרים 1: מאמצים, פיתול, כפיפה, גזירה, קו אלסטי וקריסה

N חיובי במתיחה. חותכים את המוט, מוצאים N משיווי משקל, ומחשבים קטע אחר קטע.

• מאמץ צירי ממוצע σ= NA N = כוח צירי, A = שטח החתך. אחיד רק רחוק ממקום הפעלת העומס (עקרון סן-וננט).
• עיבור צירי ε= Δllעיבור ממוצע, חיובי בהתארכות ε(x) = d (Δl)dxעיבור בנקודה ושינוי אורך כולל Δl=∫ε dx
• חוק הוק (מוט) σ= E ε E = מודול אלסטיות (Pa), שיפוע הגרף σ-ε. תקף בתחום האלסטי; לא תלוי בגיאומטריה של המוט.
• התארכות מוט Δl = N lEAN, A, E קבועים Δl = ∫₀^l N(x)E A(x) dxN או A משתנים לאורך המוט. חיובי = התארכות.
• הזזת נקודה במוט מדורג u_C = u_B + Δl_BC = Σ_i N_i l_iE A_i מתחילים מהסמך הקבוע (u=0) וצוברים התארכויות קטע אחר קטע, כל N בסימנו.
• קשיחות צירית K = EAlקשיחות המוט N = K Δlכוח לפי התארכות. במבנה יתיר הכוח מתחלק בין המוטות לפי הקשיחויות.
• עיבור תרמי ε_T = α ΔTα = מקדם התפשטות תרמית (1/°C), ΔT = שינוי טמפרטורה Δl_T = α ΔT lמוט חופשי ואחיד. במבנה מסוים סטטית חימום לא יוצר כוחות פנימיים.
• התארכות כוללת Δl = N lEA + α ΔT l + Δl₀ חלק אלסטי, חלק תרמי ואי-התאמה גיאומטרית Δl₀ (מוט שיוצר ארוך או קצר מדי). אותה נוסחה בכל מוט, ואז מציבים בתנאי התאימות.
• מוט כבול בין קירות R = α ΔT EAחימום ב-ΔT: כוח לחיצה, גדל עם EA ועם ΔT R = Δl₀ EAlאי-התאמה Δl₀ בין הקירות. אי-התאמה בלי כבילה לא יוצרת מאמצים.
• מוטות בטור בין שני סמכים Σ_i N_i l_iE_iA_i = 0 תנאי התאימות כשהקצוות קבועים: כל N_i מבוטא בנעלם (תגובה) משיווי משקל. דוגמה: כוח P בנקודה 23l מהקצה השמאלי, EA קבוע, נותן תגובה 23P בקצה הימני.

הזזות קטנות בלבד. חיבור גיאומטרי בין התארכויות המוטות להזזות הצמתים.

• הנחת וילייוט Δl = ΔUcos α+ ΔVsin α α = זווית המוט עם ציר x, ΔU=U₂-U₁ ו-ΔV=V₂-V₁ הפרשי הזזות הקצוות. כל מוט נותן משוואה אחת; מחברים אותה ל-Δl=Nl/EA.
• קורה קשיחה על פרק V(x) = θ xהזזה אנכית של נקודה במרחק x מהפרק (סיבוב קטן θ, ללא הזזה אופקית) V_CV_B = x_Cx_Bההזזות פרופורציוניות למרחק מהפרק. θ מתקבל מהתארכות המוט שמחובר לקורה.
• קורה קשיחה עם מוט אנכי V_C = x_Cx_B·N hEA מוט אנכי באורך h מחובר לקורה בנקודה B; N ממומנטים סביב הפרק. דוגמה: כוח P ב-C, x_B=l, x_C=2l: N=2P ו-V_C=4PhEA.
• מוט משופע לקורה קשיחה V_B = Δl_BDsin α מוט BD בזווית α לקורה האופקית: אין הזזה אופקית ב-B, לכן Δl = V_Bsin α. עם מוט אנכי α=90^°.

מומנט פיתול T בכלל יד ימין. חתך נשאר מישורי ועגול; מתקיים רק γ_xθ.

• עיבור וחוק הוק בפיתול γ= r dφdxφ = זווית פיתול, dφ/dx = קצב הפיתול τ= G γ= G r dφdxG = מודול גזירה. המאמץ ליניארי ברדיוס ואפס בציר.
• מומנט התמד פולרי J = πR⁴2עגול מלא J = π2(R_o⁴ - R_i⁴)צינור J ≈2π r³ tצינור דק דופן (r = רדיוס ממוצע, t = עובי)
• מאמץ פיתול τ(r) = T rJליניארי ברדיוס, אפס בציר τ_max = T RJמקסימום בשפה החיצונית (R = רדיוס חיצוני). חומר קרוב לציר כמעט לא עובד.
• זווית פיתול φ= T LG JT, G, J קבועים φ= ∫₀^L T(x)G J(x) dxמשתנים לאורך הציר φ_C = Σ_i T_i L_iG_iJ_iציר מדורג: צוברים מהקצה התקוע (φ=0). GJ = קשיחות פיתול.
• פיתול בציר מרוכב T₁ + T₂ = Tשיווי משקל T₁ LG₁J₁ = T₂ LG₂J₂תאימות: ליבה וצינור מודבקים ולכן אותה זווית פיתול. אחר כך τ_i=T_ir/J_i בכל חומר לפי הרדיוס שלו.
• פיתול יתיר φ_D = 0  ⇒  Σ_i T_i L_iG_iJ_i = 0 מסירים סמך אחד, מחשבים את זווית הפיתול שלו מהעומס ומהמומנט היתיר ומשווים לאפס. שיווי משקל: סכום המומנטים בשני הקצוות שווה למומנט המופעל.
• מומנט פיתול מפורס T(x) = - t xt = מומנט פיתול ליחידת אורך (N·m/m), x נמדד מהקצה החופשי φ= t L²2 GJזווית הפיתול בקצה החופשי (גודל).
• צינור דק דופן סגור q = T2A_mזרם גזירה קבוע בהיקף, A_m = השטח הכלוא בקו האמצע τ= qt = T2A_m tמאמץ בעובי t (מקסימום בעובי הקטן ביותר) φ= T L4A_m²G∫dstזווית פיתול (הנוסחה מהספר שבקובץ המצגת).

סימון σ_xy: אינדקס ראשון = נורמל הפאה, שני = כיוון המאמץ. גזירה חיובית בפאה עם נורמל +x אם פועלת ב-+y. ציר τ במעגל מוהר כלפי מטה.

• סימטריית מאמצי גזירה τ_xy = τ_yx משיווי משקל מומנטים של אלמנט. מאמצי גזירה בפאות מאונכות נפגשים בקצה או מתרחקים ממנו יחד.
• טרנספורמציית מאמצים σ_nn = σ_xcos ²θ+ σ_ysin ²θ+ τ_xysin 2θמאמץ נורמלי על מישור שהנורמל שלו בזווית θ מציר x τ_nt = -σ_x-σ_y2sin 2θ+ τ_xycos 2θמאמץ גזירה על אותו מישור (t = n מסובב ב-90°).
• שימור סכום המאמצים הנורמליים σ_nn + σ_tt = σ_x + σ_y סכום הנורמליים על שני מישורים מאונכים קבוע (במעגל מוהר: פעמיים המרכז). נוח לחשב σ_tt בלי נוסחה נפרדת.
• מאמצים ראשיים σ_1,2 = σ_x+σ_y2 ±√(σ_x-σ_y2)² + τ_xy²מאמצי המקסימום והמינימום, ללא גזירה על המישורים הראשיים tan 2θ_p = 2τ_xyσ_x-σ_yהזווית θ_p (שני פתרונות, 90° זה מזה). לקבוע איזו זווית נותנת מקסימום: להציב ב-σ_nn.
• מאמץ גזירה מרבי τ_max = √(σ_x-σ_y2)² + τ_xy² = σ₁-σ₂2גזירה מרבית בתוך המישור (מצב מישורי) θ_s = θ_p ±45^°מישורי הגזירה המרבית σ_nn(θ_s) = σ_x+σ_y2על מישורים אלה הנורמלי שווה לממוצע, לא לאפס. הסימן של τ_nt בזווית מסוימת נקבע מהנוסחה.
• מעגל מוהר למאמצים (σ- σ_x+σ_y2)² + τ² = R² R = √(σ_x-σ_y2)² + τ_xy² מרכז על ציר σ ב-σ_x+σ_y2. הנקודה (σ_x,τ_xy) מייצגת את פאת x. סיבוב האלמנט ב-θ = סיבוב של 2θ במעגל באותו כיוון. נקודה מנוגדת = המישור המאונך.
• גזירה טהורה σ_x = σ_y = 0  ⇒  σ_1,2 = ±τ_xy,θ_p = 45^° מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו τ. זה מצב הנקודות בציר בפיתול. מתיחה חד-צירית: τ_max=σ/2 ב-45°.
• מישור משופע במוט מתוח σ_θ= PAcos ²θ τ_θ= PAsin θcos θ θ = זווית בין נורמל המישור לציר המוט. מוט יכול להיכשל במישור משופע גם כשהמאמץ הצירי תקין.

γ_xy = עיבור גזירה הנדסי (ε_xy=γ_xy/2). גזירה חיובית = קטנה של הזווית הישרה. בכל נוסחת מאמצים אפשר להחליף τ_xy→γ_xy/2 ו-σ→ε.

• עיבורים מהזזות ε_x = ∂u∂x, ε_y = ∂v∂yu ו-v הזזות בכיוון x ו-y, הזזות קטנות γ_xy = ∂v∂x + ∂u∂yעיבור גזירה = סכום שתי הסטיות הזוויתיות
• טרנספורמציית עיבורים ε_nn = ε_xcos ²θ+ ε_ysin ²θ+ γ_xy2sin 2θעיבור נורמלי בכיוון n γ_nt = -(ε_x-ε_y)sin 2θ+ γ_xycos 2θעיבור גזירה בין n ל-t. כמו כן ε_nn+ε_tt=ε_x+ε_y.
• עיבורים ראשיים ε_1,2 = ε_x+ε_y2 ±√(ε_x-ε_y2)² + (γ_xy2)²עיבורי מקסימום ומינימום tan 2θ_p = γ_xyε_x-ε_yכיוון העיבור הראשי γ_max = ε₁ - ε₂עיבור גזירה מרבי = פעמיים רדיוס מעגל מוהר (מרכז ε_x+ε_y2, ציר אנכי γ/2)
• מדידה ברוזטה 45° ε_y = ε_a + ε_c - ε_bמודדים עיבורים נורמליים בלבד: b בכיוון x, a ב-45° מתחת ל-x, c ב-45° מעליו (ε_x=ε_b) γ_xy = ε_c - ε_aמכאן גם ε_xy=(ε_c-ε_a)/2
• שינוי אורך וזווית Δl = ε_nn lשינוי אורך קטע ישר בכיוון n, העיבור קבוע לאורכו α^* = π2 - γ_ntהזווית החדשה בין שני קווים שהיו ניצבים

חומר ליניארי-אלסטי, איזוטרופי והומוגני.

• חוק הוק תלת-ממדי ε_x = 1E[σ_x - ν(σ_y+σ_z)]עיבור מאמצים (סיבוב מחזורי ל-y ול-z) σ_x = E[(1-ν)ε_x + ν(ε_y+ε_z)](1+ν)(1-2ν)מאמץ מעיבורים. ν = מקדם פואסון. במתיחה חד-צירית ε_y=-νσ_x/E.
• מודול גזירה γ= τGאין אפקט פואסון בגזירה G = E2(1+ν)קשר בין שלושת הקבועים, -1<ν≤12
• מצב מאמצים מישורי ε_z = -νE(σ_x+σ_y)ב-σ_z=0 יש בכל זאת עיבור בעובי (עובי הלוח משתנה) ε_x = 1E(σ_x-νσ_y) + α ΔTבשינוי טמפרטורה מוסיפים αΔT לכל עיבור נורמלי. מאמצי מישור: σ_z=0, עיבורי מישור: ε_z=0.
• עיבור נפחי ומודול נפח Δ= ε_x+ε_y+ε_z = 1-2νE(σ_x+σ_y+σ_z)שינוי נפח יחסי (עיבורים קטנים). גזירה לא משנה נפח K = E3(1-2ν),σ_m = K Δσ_m = ממוצע שלושת הנורמליים. כש-ν=12 החומר בלתי דחיס.

y נמדד מהציר הניטרלי כלפי מטה, M=M_z. החתך צריך ציר סימטריה אנכי והמומנט סביב הציר הראשי. כפיפה לא-סימטרית לא נלמדה.

• עיבור וחוק הוק בכפיפה ε_xx = yρחתכים נשארים מישוריים ונצבים לציר, העיבור ליניארי בגובה 1ρ = MEIρ = רדיוס עקמומיות, EI = קשיחות כפיפה
• נוסחת כפיפה σ_xx = M yIהמאמץ ליניארי בגובה, אפס בציר הניטרלי σ_max = M y_maxI = MW,W = Iy_maxהסיב הרחוק ביותר. M חיובי מותח את התחתון (y חיובי).
• ציר ניטרלי ומרכז כובד ∫_A y dA = 0הציר הניטרלי עובר דרך מרכז הכובד (שיווי משקל כוחות צירי: ∫σ dA=0) y_c = ΣA_i y_iΣA_iמרכז כובד של חתך מורכב מתוך חלקים
• משפט שטיינר I = Σ_i(I_i + A_i d_i²)d_i = מרחק מרכז הכובד של חלק i ממרכז הכובד של כל החתך I_rect = b h³12מלבן סביב ציר מרכזי. עגול: πD⁴64; צינור דק דופן: πD³t8 (והפולרי πD³ t4).
• חתך מורכב (מוחלף) n_i = E_iE_refיחס מודולים; חומר הייחוס נבחר חופשי y_c = Σn_iA_iy_iΣn_iA_iהציר הניטרלי הוא מרכז הכובד של החתך המוחלף (רוחב כל חלק × n_i, אותו גובה) I_eq = Σn_i(I_i + A_i d_i²)קשיחות שקולה
• מאמץ בחומר i בחתך מורכב σ_i = n_i M yI_eq המאמץ בחומר i (עיבור זהה לשני החומרים, המאמץ לא רציף במפגש). מאמץ מותר בכל חומר נבדק בנפרד, בסיבים הקיצוניים של אותו חומר.
• מסבולת אלסטית של חתך M_el = σ_y Iy_max המומנט שבו הסיב הרחוק ביותר מגיע לכניעה. בחתך עם σ_y שונה במתיחה ובלחיצה בודקים את שני הסיבים ולוקחים את הקטן, בנפרד ל-M_el⁺ ול-M_el^-. תלוי בחתך ובחומר, לא בעומס.
• מסבולת אלסטית של מבנה M_max = M_el העומס המרבי שבו המומנט בחתך הקריטי מגיע ל-M_el. תלוי גם בדיאגרמת המומנטים; לבדוק את כל החתכים הקריטיים (מומנט חיובי ושלילי). דוגמה: קורה עם שני זיזים באורך a ושדה 3a: M_A=-qa²2, M_C=5qa²8.
• מומנטים מרביים בקורות נפוצות M_max = qL²8קורה פשוטה, עומס אחיד M_max = PL4פשוטה, כוח באמצע M_max = P a bLפשוטה, כוח במרחקים a ו-b מהסמכים M_max = PL , qL²2זיז: כוח בקצה, עומס אחיד (בתקיעה) S = dMdxכוח גזירה הוא נגזרת המומנט

S = כוח הגזירה בחתך, Q = מומנט סטטי של החלק החתוך סביב הציר הניטרלי (חלק מעל או מתחת לחיתוך, אותו גודל).

• זרם ומאמץ גזירה q = S QIזרם גזירה (N/m) τ= S QI bמאמץ גזירה, b = רוחב החתך בקו החיתוך (בחתך דק דופן: t); q=τb Q = y AA = שטח החלק החתוך ו-y = מרחק מרכזו מהציר הניטרלי. נובע מ-S=dM/dx.
• גזירה במלבן τ(y) = S2I(h²4 - y²)חתך מלבני b×h, y מהציר הניטרלי; פרבולה, אפס בשפות τ_max = 32·SAבציר הניטרלי, פי 1.5 מהממוצע
• זרם גזירה באגף דק q(x₁) = SI·h2 t x₁ בחתך פתוח דק דופן חותכים בשפה חופשית (שם q=0) ועולים לאורך הקיר: באגף אופקי q ליניארי, בקיר אנכי פרבולי. כיוון הזרם ממשיך כמו מים בצינור ומתחלק בצמתים.
• כוח על מסמרת, בורג או דבק V_nail = q c = S Q_eqI_eq cc = מרחק פסיעה בין המסמרות; Q לחלק שהמסמרות מחזיקות, I של כל החתך (החלק המחובר מוכפל ב-n אם החומר שונה) q c ≤τ_allow A_nailתנאי חוזק; לדבק: q=τ b_glue (q≤τ_allowb).

v = שקיעה (חיובית כלפי מטה), φ=v^′ = שיפוע, הנוסחאות לפי סימון M שבקורס (בדף הנוסחאות הרשמי מותר גם הסימן ההפוך).

• עקמומיות 1ρ = v^′′(1+v^′2)^3/2 ≈v^′′ בשיפועים קטנים (v^′≪1) העקמומיות היא הנגזרת השנייה של השקיעה
• משוואת הקו האלסטי E I v^′′ = -M(x)EI קבוע בקטע. מחשבים M(x), מבצעים אינטגרל פעמיים ומוסיפים C₁x+C₂ E I v^′′′ = -S(x)כוח גזירה E I v^′′′′ = q(x)לעומס q(x) כלפי מטה: ארבע אינטגרציות וארבעה תנאי שפה.
• תנאי שפה ורציפות v = 0סמך נייח או נייד v = 0, v^′ = 0ריתום M = 0 ⇒v^′′ = 0פרק או סמך פשוט בקצה (אין מומנט) v₁ = v₂, v₁^′ = v₂^′בין קטעי אינטגרציה (שינוי עומס או EI) או בפינה קשיחה של מסגרת: שקיעה ושיפוע רציפים. ארבעה קבועים בשני קטעים = שני תנאי שפה ושני תנאי רציפות.
• קונסולה: שקיעה בקצה δ= P L³3EI , φ= P L²2EIכוח P בקצה δ= q L⁴8EI , φ= q L³6EIעומס אחיד q δ= M L²2EI , φ= M LEIמומנט M בקצה (לפי lec10: v=Mx²2EI)
• קורה פשוטה: שקיעה ושיפוע δ_mid = 5 q L⁴384 EI , φ_A = q L³24 EIעומס אחיד (A = סמך שמאלי) δ_mid = P L³48 EI , φ_A = P L²16 EIכוח באמצע φ_B = M L3EI , φ_A = M L6EIמומנט M בסמך B (השיפוע בסמך A הפוך ופי 2 קטן)
• סמך יתיר בקורה רציפה Δ_C^(q) - R_C δ_CC = 0  ⇒  R_C = Δ_C^(q)δ_CC מסירים את הסמך המיותר, מחשבים את השקיעה בו מהעומס ומהכוח המשוחרר ומשווים לאפס (או אפשר לשחרר מומנט בסמך האמצעי ולהשוות שיפועים). דוגמה: שדות 6 מ' ו-4 מ' ב-q אחיד: R_C=1.125q, R_B=15524q, R_A=2912q.

במוט לחוץ ארוך הכישלון הוא חוסר יציבות ולא כניעת חומר. בקורס נלמד רק עמוד פרק-פרק; אורך אפקטיבי הוא אורך חצי גל הסינוס של צורת הקריסה.

• כוח קריטי (אוילר) P_cr = π² EIl_e²l_e = אורך אפקטיבי = אורך חצי גל הסינוס של צורת הקריסה (פרק-פרק: l_e=l) P_K = K² π² EIl²מצבים גבוהים, צורת קריסה y=Asin Kπxl (בפועל העמוד קורס בעומס הראשון). I = מומנט ההתמד של החתך סביב הציר שסביבו העמוד קורס (הקטן מבין השניים).
• משוואת הקריסה P y + EI y^′′ = 0שיווי משקל מומנטים בעמוד מוסט, עם M=-EIy^′′ y = Asin λx + Bcos λx,λ= √PEIפתרון. תנאי שפה פרק-פרק נותנים B=0 ו-sin λl=0.

חומר אלסטי-פלסטי אידיאלי: σ=Eε עד σ_y, ואחר כך σ=σ_y (ללא התקשות). העיבור נשאר ליניארי בחתך. פריקה: קו מקביל לקו האלסטי ועיבור שיורי.

• מומנט פלסטי של חתך M_pl = σ_y Q_plQ_pl = סכום המומנטים הסטטיים של שני חצאי השטח (בציר הניטרלי הפלסטי) ∫_A σ_x dA = 0הציר הניטרלי הפלסטי מחלק את החתך לשני שטחים שווים (בחתך א-סימטרי זה לא מרכז הכובד). צינור דק: I=πD³t8, Q_pl=D²t.
• מלבן: Mel ו-Mpl M_el = σ_y b d²6חתך מלבני b×d; סיב קיצוני בכניעה M_pl = σ_y b d²4חצי חתך אחד בלחיצה והשני במתיחה, כוח σ_y bd2 בכל חצי, זרוע d/2 M_plM_el = 1.5מקדם צורה: אפשר להגדיל קיבולת ב-50% בתכנון פלסטי
• ציר ניטרלי פלסטי בחתך T x_pl = 34 t חתך T: אגף עליון ברוחב 2d ועובי t, קיר בגובה d ועובי t. מרחק הציר הפלסטי מהפן העליון (בתוך האגף): שטחים שווים 2dx = 2d(t-x)+dt. M_pl בחתך זה לא חושב בקורס.
• עומס פלסטי של מבנה P_pl = M_pla a = זרוע הכוח עד החתך שבו נוצר פרק פלסטי (בקונסולה: חתך התקיעה). קריסת המבנה כשהמומנט המרבי מגיע ל-M_pl. השוואה בין זה לבין P_cr קובעת איזה כישלון קורה קודם.

מופיע בדף נוסחאות א של המבחנים. P = לחץ פנימי יחסי, R = רדיוס, t = עובי דופן, t≪R.

• מיכל צילינדרי σ_θ= P Rtמאמץ היקפי (מעגלי) σ_x = P R2tמאמץ אורכי (בצינור עם קצוות סגורים). המאמץ ההיקפי פי 2 מהאורכי, ולכן הוא קובע.