מתמטיקה · חינם, בלי הרשמה, מוכן להדפסה
דף נוסחאות שיטות נומריות: ניוטון-רפסון, LU, יעקובי, גאוס-זיידל, אינטרפולציה, אינטגרציה ורונגה-קוטה
פתרון משוואות לא לינאריות, פירוקי LU וחולסקי, שיטות איטרטיביות, פולינומי לגראנז' וניוטון, הרמיט וספליין, אינטגרציה נומרית ושיטות לבעיות התחלה.
- 55 נוסחאות
- 6 נושאים
- לפי הקורס שיטות נומריות
לחיצה על נוסחה מעתיקה אותה
שיטות נומריות לפי סדר השיעורים. ליד כל שיטה כתוב סדר ההתכנסות או סדר השגיאה, כי זה מה שנשאל הרבה במבחנים.
משוואות לא לינאריות
- שיטת החציה (ביסקציה) צריך f(a)f(b) < 0 ו־f רציפה; בוחרים את חצי הקטע שבו f מחליפה סימן
- עצירה בחציה
- מספר צעדי חציה לדיוק ε
- רגולה פלסי (שיטת המיתר) צריך f(a)f(b) < 0; שומרים את חצי הקטע שבו הסימן מתחלף. עצירה: |cn - cn-1| < ε או |f(cn)| < δ
- שיטת הסקנט (לא בכל הקורסים) שתי הנקודות האחרונות, בלי בדיקת סימן; סדר התכנסות ≈ 1.618
- ניוטון-רפסון התכנסות ריבועית (סדר 2) ליד שורש פשוט. עצירה: |xn - xn-1| < ε
- תנאי התכנסות לניוטון וגם f' ו־f'' בסימן קבוע בקטע. תנאי מספיק בלבד: גם בלעדיו השיטה עשויה להתכנס
- ניוטון-רפסון המעודכנת הנגזרת מחושבת פעם אחת ב־x0; התכנסות לינארית
- ניוטון לשורש בריבוי m לא ניוטון המעודכנת; מחזיר התכנסות ריבועית לשורש כפול
- נקודת שבת מתכנסת אם g([a,b])⊆[a,b] ו־λ= max |g'(x)| < 1
- שגיאה בנקודת שבת
- קצב התכנסות בנקודת שבת לינארית; ריבועית אם g'(ξ) = 0
- ניוטון-רפסון למערכת משוואות צריך det J ≠0. עצירה: ‖x(k) - x(k-1)‖ < ε או ‖F(x(k))‖ < δ
- ניוטון המעודכנת למערכת יעקוביאן אחד, מנקודת ההתחלה
- מטריצת יעקובי שורה = משוואה, עמודה = משתנה
פירוק מטריצות
- פירוק LU הצבה קדמית ואחורית
- פירוק דוליטל אם איבר ציר מתאפס צריך להחליף שורות (PA = LU)
- פירוק חולסקי רק למטריצה סימטרית חיובית מוגדרת (כל המינורים הראשיים חיוביים). זהה ל־A = LLT עם L = UT
- מספר פעולות הפירוק יקר; כל צד ימין חדש עולה רק n2
שיטות איטרטיביות
- שיטת יעקובי
- שיטת גאוס-זיידל משתמשים מיד בערכים החדשים
- צורה מטריציונית A = E + D + F (משולשית תחתונה, אלכסונית, משולשית עליונה)
- תנאי התכנסות הכרחי ומספיק; ρ = רדיוס ספקטרלי
- תנאים מספיקים נורמה כלשהי (במבחנים בודקים לרוב ‖BJ‖1), או שליטה אלכסונית ממש
- הערכת שגיאה q = ‖B‖ < 1
- נורמות של מטריצה שורה מרבית · עמודה מרבית
- נורמות של וקטור
- מספר מצב
אינטרפולציה
- פולינום לגראנז'
- הפרשים מחולקים
- פולינום ניוטון
- שגיאת האינטרפולציה
- פולינום הרמיט ממעלה ≤ 2n+1 עבור n+1 נקודות
- הרמיט בהפרשים מחולקים כל נקודה פעמיים בטבלה
- ספליין קובי aj = yj, hj = xj+1 - xj
- תנאי ספליין S, S' ו־S'' רציפות בצמתים; התנאי בקצוות = ספליין טבעי (c0 = cn = 0)
- ספליין טבעי: מערכת ל־c מערכת תלת־אלכסונית, j = 1..n-1
- ספליין: b ו־d
אינטגרציה נומרית
- כלל המלבן (נקודת אמצע) המורכב השגיאה בערך חצי משגיאת הטרפז ובסימן הפוך
- כלל הטרפז
- כלל סימפסון 1/3
- כלל סימפסון 3/8
- כלל הטרפז המורכב
- כלל סימפסון המורכב (n זוגי)
- גאוס-לז'נדר עם 2 נקודות מדויק לפולינומים ממעלה ≤ 3
- אקסטרפולציית ריצ'רדסון p = סדר השיטה
בעיית ערך התחלה (מד״ר)
- צורה
- שיטת פיקאר מתחילים מ־y0(x) = y0
- אוילר קדמי סדר 1, מפורשת
- אוילר אחורי סדר 1, סתומה, יציבה יותר
- אוילר משופר (הון) סדר 2; yn+1 = yn + hf(xn,yn)
- רונגה-קוטה מסדר 4
- מקדמי RK4
- מד״ר מסדר גבוה מערכת של משוואות מסדר ראשון
- תנאי יציבות אוילר קדמי למשוואת המבחן y' = λy
לא מצאנו נוסחה כזו בדף. נסו מילה אחרת, או חפשו בכל דפי הנוסחאות.