דף נוסחאות הסתברות וסטטיסטיקה: סטטיסטיקה תיאורית, התפלגויות, רווח סמך ובדיקת השערות

• ממוצע X = ΣX_in מושפע מערכים קיצוניים
• חציון Md = X_n/2 + X_n/2+12n זוגי Md = X_(n+1)/2n אי־זוגי
• שכיח Mo = max [F(X)] הערך הנפוץ ביותר; לא מושפע מקיצוניים, מתאים גם למשתנה איכותי
• אמצע טווח MR = X_max + X_min2 מושפע מאוד מערכים קיצוניים
• צורת ההתפלגות X = Md = Moסימטרית Mo < Md < Xא־סימטרית ימנית (חיובית) X < Md < Moא־סימטרית שמאלית (שלילית)

• טווח R = X_max - X_min
• רבעונים ומאונים i = n·P100 מסדרים את התצפיות. i לא שלם: לוקחים את המקום השלם הבא; i שלם: ממוצע הערכים במקומות i ו־i+1
• טווח בין־רבעוני IQR = Q₃ - Q₁ 50% התצפיות האמצעיות; לא מושפע מקיצוניים
• שונות וסטיית תקן S² = Σ(X_i - X)²n-1 = Σx_i² - nx²n-1 S = √S²
• מקדם השתנות CV = SX·100 קרוב לאפס = התפלגות הומוגנית (פיזור צר)
• ציון תקן Z_i = X_i - XS מרחק מהממוצע ביחידות של סטיית תקן; |Z| > 3 נחשב לרוב כחריג
• סיכום חמשת המספרים X_min, Q₁, Q₂, Q₃, X_max תרשים תיבה
• תיבה סימטרית Q₃ - Q₂ = Q₂ - Q₁ X_max - Q₃ = Q₁ - X_min Md = Q₁ + Q₃2

• מדדי מרכז X' = bX + a Md' = b·Md + a Mo' = b·Mo + a MR' = b·MR + a הוספת קבוע משנה את מדדי המרכז בלבד
• מדדי פיזור S' = b·S S^2′ = b²S² R' = b·R IQR' = b·IQR הכפלה בקבוע משנה את כולם (השונות כמו הקבוע בריבוע)

• שונות משותפת s_xy = Σ(x_i - x)(y_i - y)n-1 כיוון הקשר הלינארי בין שני משתנים כמותיים
• מתאם פירסון r_xy = s_xys_x·s_y r_xy = ΣZ_xi·Z_yin-1 כיוון ועוצמה של קשר לינארי. r בין 1− (הפוך מושלם) ל־1 (ישר מושלם)
• עוצמת הקשר |r|: 0.01–0.19חלש מאוד 0.20–0.39חלש־מתון 0.40–0.59בינוני 0.60–0.79מתון־חזק 0.80–0.99חזק־חזק מאוד
• מתאם וסיבתיות correlation≠causation מסקנה סיבתית מחייבת: קשר סטטיסטי, ביסוס סדר הזמנים והפרכת הסברים חלופיים

• מעבר משכיחות להסתברות P = f(x)n
• כלל החיבור (או) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
• כלל הכפל (וגם) P(A∩B) = P(B|A)P(A) = P(A|B)P(B)
• הסתברות מותנית (אם) P(A|B) = P(A∩B)P(B)
• נוסחת בייס P(A|B) = P(B|A)P(A)P(B) P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A)P(A) P(B) מחשבים מעץ ההסתברויות או מטבלת ההסתברויות
• בדיקת תלות P(A|B)≠P(A) P(A∩B)≠P(A)P(B) מספיק שאחד מתקיים כדי שהמאורעות תלויים

• פונקציית הסתברות 0≤P(X_i)≤1 ΣP(X_i) = 1
• פונקציה מצטברת F(x) = P(X≤x) = Σ_X≤xP(x) F(-∞) = 0 F(∞) = 1
• חישוב עם F P(X≥a) = 1 - P(X < a) = 1 - F(a-1) P(a≤X≤b) = F(b) - F(a-1) P(a < X≤b) = F(b) - F(a) בערכים שלמים. בבדיד, F(a-1) הוא F של הערך האפשרי שלפני a
• תוחלת E(X) = μ_X = ΣX_i·P(X_i) הממוצע בטווח הארוך
• שונות V(X) = σ_X² = Σ(X_i - μ_X)²P(X_i) = ΣX_i²P(X_i) - μ_X² σ_X = √σ_X²
• חוקי התוחלת והשונות E(X±a) = E(X)±a E(aX) = aE(X) V(X±a) = V(X) V(aX) = a²V(X)

• אחידה U(a,b) P(x) = 1b-a+1 E = a+b2 V = (b-a+1)² - 112
• בינומית B(n,p) P(x) = (nx)p^x(1-p)^n-x E = np V = np(1-p) "לפחות אחד": P(X≥1) = 1 - P(X = 0)
• גאומטרית G(p) P(x) = p(1-p)^x-1 E = 1p V = 1-pp² מספר הניסיונות עד ההצלחה הראשונה
• פואסונית P(λ) P(x) = e^-λλ^xx! E = λ V = λ λ = ממוצע האירועים ביחידת מידה אחת; ליחידה אחרת מכפילים (0.04 בשנה × 50 שנה = 2)
• היפרגאומטרית HG(N,D,n) P(x) = (Dx)(N-Dn-x)(Nn) E = nDN V = nDN(1 - DN)(N-nN-1) n נשלפים מתוך N, מהם D מיוחדים

• פונקציית צפיפות f(x)≥0 ∫_L^Uf(x) dx = 1 מציאת קבוע: משווים את השטח ל־1
• פונקציה מצטברת F(x) = P(X≤x) = ∫_L^xf(x) dx F(L) = 0 F(U) = 1 מחשבים את F פעם אחת ומשתמשים בה לכל x
• חישוב עם F P(X≥a) = 1 - F(a) P(a≤X≤b) = F(b) - F(a)
• תוחלת E(X) = μ_X = ∫_L^Ux·f(x) dx
• שונות V(X) = σ_X² = ∫_L^Ux²·f(x) dx - μ_X²

• צפיפות נורמלית f(x) = 1√2πσ²e^-(x-μ)22σ2
• אוכלוסייה μ= ΣX_iN σ= √Σ(X_i - μ)²N
• תקנון z = x - μσ מ־X להסתברות: X → Z → P (טבלת Z)
• מהסתברות לערך x = μ+ z·σ P → Z → X (למשל 10% התחתונים: z = −1.28)
• התפלגות הדגימה X∼N(μ, σ√n) μ_X = μ σ_X = σ√n σ_X = טעות התקן, תמיד קטנה מ־σ
• ציון תקן לממוצע Z_X = X - μσ/√n
• משפט הגבול המרכזי n≥30 ⇒ X≈N אוכלוסייה נורמלית: התפלגות הדגימה נורמלית לכל n. אחרת, מ־n ≥ 30 בקירוב

• פרמטר וסטטיסטי μ→Xממוצע σ²→S²שונות σ→Sסטיית תקן P→pפרופורציה
• רווח סמך, σ ידועה (Z) X±Z_α/2σ√n אוכלוסייה נורמלית או n ≥ 30
• רווח סמך, σ לא ידועה (t) X±t_α/2,n-1S√n אוכלוסייה נורמלית; df = n − 1
• טעות דגימה מרבית e = Z_α/2σ√n e = t_α/2,n-1S√n
• גודל מדגם n = (Z_α/2)²σ²e² n = (t_α/2,n-1)²S²e²
• מה משפיע על הרוחב 1-α↑רחב יותר n↑צר יותר σ↑רחב יותר

שלבים: (1) ניסוח ההשערות (2) בחירת α ו־n (3) הנחות ובחירת מבחן (4) ערך קריטי ואזורי דחייה (5) חישוב סטטיסטי המבחן (6) החלטה ומסקנה.

• צורות ההשערות H₀: μ= μ₀, H₁: μ≠μ₀דו־זנבי H₀: μ≤μ₀, H₁: μ> μ₀חד־זנבי ימני H₀: μ≥μ₀, H₁: μ< μ₀חד־זנבי שמאלי
• סטטיסטי Z (σ ידועה) Z_X = X - μσ/√n אוכלוסייה נורמלית או n ≥ 30
• סטטיסטי t (σ לא ידועה) t_X = X - μS/√n df = n-1 אוכלוסייה נורמלית
• ערכים קריטיים (α = 0.05) ±1.96דו־זנבי 1.645ימני -1.645שמאלי. בטבלת t: ימני df ו־α, דו־זנבי df ו־α/2
• שני מדגמים בלתי תלויים t = (x₁ - x₂) - (μ₁ - μ₂)s_{(x1 - x2)} s_{(x1 - x2)} = √(n₁-1)s₁² + (n₂-1)s₂²n₁ + n₂ - 2·√1n₁ + 1n₂ df = n₁ + n₂ − 2; שונויות הומוגניות, אוכלוסיות נורמליות
• ערך p p < α ⇒ reject H₀ p≥α ⇒ do not reject p = הסיכוי לתוצאה קיצונית לפחות כמו שהתקבלה
• טעויות α= P(טעות מסוג I)דחיית H₀ נכונה β= P(טעות מסוג II)קבלת H₀ שגויה 1-βעוצמת המבחן
• מה מגדיל את העוצמה α↑ n↑ σ↓ α גדלה ⇐ β קטנה. חד־זנבי בכיוון הנכון חזק יותר מדו־זנבי
• קשר לרווח סמך μ₀∉CI_1-α ⇔ reject H₀ רק במבחן דו־זנבי באותה α