מתמטיקה · חינם, בלי הרשמה, מוכן להדפסה
דף נוסחאות משוואות דיפרנציאליות: סדר ראשון, ברנולי, מדויקת, מקדמים קבועים וטורי חזקות
הפרדת משתנים, משוואה לינארית וגורם אינטגרציה, ברנולי, משוואה מדויקת, הומוגנית, הורדת סדר, מקדמים קבועים, מקדמים לא ידועים, וריאציית פרמטרים וטור חזקות.
- 48 נוסחאות
- 10 נושאים
- לפי הקורס משוואות דיפרנציאליות
לחיצה על נוסחה מעתיקה אותה
משוואות דיפרנציאליות רגילות (מד״ר) לפי סדר השיעורים. בכל תרגיל מזהים קודם את סוג המשוואה (סדר, לינארית או לא, מקדמים קבועים או לא), ורק אז בוחרים שיטה.
מד״ר מסדר ראשון: הפרדת משתנים
- צורה
- פתרון לבדוק בנפרד פתרונות שבהם h(y) = 0
- גדילה ודעיכה
- חוק הקירור של ניוטון Ta = טמפרטורת הסביבה
- משוואה הומוגנית: הצבה y = ux
- צורה ax + by + c
- הניתנת להומוגנית ישרים נחתכים: מזיזים לנקודת החיתוך (x = X + α, y = Y + β); מקבילים: z = a1x + b1y
מד״ר לינארית מסדר ראשון
- צורה
- גורם אינטגרציה
- פתרון
- שיטת uv אותה תוצאה בלי לזכור את μ
משוואת ברנולי
- צורה n ≠0, 1
- הצבה הופכת ללינארית; לבדוק בנפרד את y = 0 (כש־n > 0)
- משוואת ריקאטי (ידוע פתרון y₁)
משוואה מדויקת ולא מדויקת
- צורה
- תנאי למשוואה מדויקת
- פתרון
- גורם אינטגרציה תלוי ב־x כשהביטוי תלוי רק ב־x
- גורם אינטגרציה תלוי ב־y כשהביטוי תלוי רק ב־y
הורדת סדר
- חסר y
- חסר x
- כשידוע פתרון אחד y₁ למשוואה y'' + py' + qy = 0
מד״ר לינארית מסדר שני עם מקדמים קבועים
- משוואה הומוגנית
- משוואה אופיינית
- שני שורשים ממשיים שונים
- שורש כפול
- שורשים מרוכבים α±βi
- שורש בריבוי m שורש אחד בריבוי m נותן m פתרונות בלתי תלויים
- ורונסקיאן W≠0 ⇔ הפתרונות בלתי תלויים לינארית
משוואה לא הומוגנית
- פתרון כללי
- מקדמים נעלמים: פולינום
- מקדמים נעלמים: מעריכי
- מקדמים נעלמים: טריגונומטרי k = max (m, n); פולינומים כלליים גם כשבאגף ימין יש רק cos או רק sin
- סופרפוזיציה פותרים לכל איבר באגף ימין בנפרד
- קביעת s s = הריבוי של k (או של α±βi) כשורש של המשוואה האופיינית; s = 0 אם אינו שורש
- וריאציית פרמטרים ל־y'' + py' + qy = g
- משוואת אוילר-קושי x > 0; שורש כפול: xrln x; מרוכבים α±βi: xαcos (βln x), xαsin (βln x)
- אוילר עם אגף ימין הופכת למשוואה עם מקדמים קבועים ב־t
מערכות לינאריות
- מערכת הומוגנית λi, vi = ערכים ווקטורים עצמיים של A
- ערך עצמי כפול עם וקטור אחד
- ערכים מרוכבים שני הפתרונות הממשיים הם החלק הממשי והמדומה
- שיטת ההצבה (אלימינציה) מקבלים משוואה מסדר שני ב־y1 בלבד
משוואות בנגזרות חלקיות
- קוואזי-לינארית מסדר ראשון שני אינטגרלים ראשונים C1 = φ1, C2 = φ2; הפתרון הכללי ψ(C1, C2) = 0; תנאי ההתחלה קובע את ψ
- משוואת החום, קצוות באפס An = 2L∫0Lf(x)sin πnxLdx; אם f סכום של סינוסים, קוראים את An ישירות
- משוואת הגלים, קצוות באפס An מ־u(x,0); BncπnL מ־ut(x,0). במבחנים כותבים לפעמים u(t,x)
פתרון בטור חזקות
- הצבה
- נוסחת נסיגה משווים לאפס את מקדם כל חזקה של x; מתקבל קשר בין an+2 ל־an
- נקודה רגולרית (רגילה) x0 רגולרית אם p, q אנליטיות בה; אז יש שני פתרונות בלתי תלויים בטור חזקות סביב x0
לא מצאנו נוסחה כזו בדף. נסו מילה אחרת, או חפשו בכל דפי הנוסחאות.